Question

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA₁ = 4.

（Ⅰ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）详见试题解析;（Ⅱ）在棱上存在点使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，且

解析试题分析：（Ⅰ）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面AEB₁内找一条与CF平行的直线.根据题设，可取的中点，通过证明四边形是平行四边形来证明，从而使问题得证；（Ⅱ）由于两两垂直，故可以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立空间坐标系，利用空间向量求解.
试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，联结
∵分别是棱、的中点，
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（Ⅱ）解：由于两两垂直，故可以为坐标原点，射线为轴的正半轴建立空间坐标系如图所示
则
设 ，平面的法向量，
则
由
得,取得：
∵平面
∴是平面的法向量，则平面的法向量
∵二面角的平面角的余弦值为
∴
解之得
∴在棱上存在点使得二面角A—EB₁—B的余弦值是，且.
考点：1、直线与平面平等的判定；2、二面角；3、空间向量的应用.