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    【题目】已知椭圆：的短轴长为2，且椭圆过点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线对称，求的取值范围.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）将点的坐标代入椭圆方程，再结合，求出的值，即可得到椭圆的方程；

    （2）设直线的方程为，，，然后由直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，判别式大于零，再通过根与系数的关系，得到线段中点的横坐标，再将其代入直线方程中得到中点的纵坐标，将线段中点坐标代入直线的方程，可得到的关系式，再结合判别式得到的不等式可求出的取值范围.

    解：（1）∵椭圆的短轴长为2，∴，即.

    又点在上，∴，∴，

    ∴椭圆的方程为.

    （2）由题意设直线的方程为，，，

    由消去得，，

    ∴，即，①

    且，

    ∴线段中点的横坐标，纵坐标，

    即线段的中点为，

    将代入直线可得，，②

    由①，②可得，，∴.

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    .

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