Question

【题目】直角三角形ABC中角A，B，C对边长分别为a，b，c，∠C=90°．
（1）若三角形面积为2，求斜边长c最小值；
（2）试比较an+bn与cn（n∈N*）的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ab=2，∴ab=4．

∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2≥2ab=8，解得c≥ ．当且仅当a=b=2时取等号．

∴斜边长c最小值为2

（2）解：①当n=1时，a+b＞c；

②当n=2时，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2；

③当n≥3时，设cosθ= ，sinθ= ， ．

则 =cosnθ+sinnθ＜cos2θ+sin2θ=1，

∴an+bn＜cn．

【解析】（1）由 ab=2，可得：ab=4．由∠C=90°，可得a2+b2=c2 ， 利用基本不等式的性质即可得出．（2）①当n=1时，利用三角形三边大小关系可得a+b＞c；②当n=2时，由∠C=90°，利用勾股定理可得a2+b2=c2；③当n≥3时，设cosθ= ，sinθ= ， ．由 =cosnθ+sinnθ，再利用三角函数的单调性即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式的相关知识，掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．