Question

16．已知$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{6}}）-cos（{2x+\frac{π}{3}}）+a$
（1）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；
（2）y=g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上最大值与最小值之和为5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．
（2）利用正弦函数的图象的定义域和值域，求得函数g（x）的最值，利用条件求得a的值．

解答 解：（1）把y=f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（2x+$\frac{π}{3}$）+a=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-sin（$\frac{π}{6}$-2x）+a=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a的图象上所有点的横坐标，
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+a的图象，
把所得图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）+a=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a 的图象，
故函数y=g（x）的解析式为 g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a．
（2）∵在$[0，\frac{π}{2}]$上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴g（x）∈[1+a，2+a]，
根据g（x）的最大值与最小值之和为5，∴1+a+2+a=5，a=1．

点评 本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的定义域和值域，属于基础题．