Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B（-3，-4），若点C在∠AOB的平分线上，且OC=$\sqrt{10}$，则点C的坐标是（-1，-3）．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{OB}$方向上的单位向量$\overrightarrow{e}$，则有点C在∠AOB的平分线上，故存在实数λ使得$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{e}$），如此可以得到坐标的参数表达式，再由|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{10}$，建立方程求出参数的值，即可得出点C的坐标．

解答 解：由题意$\overrightarrow{OA}$=（0，-1），是一个单位向量，
由于$\overrightarrow{OB}$=（-3，-4），故$\overrightarrow{OB}$方向上的单位向量$\overrightarrow{e}$=（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
∵点C在∠AOB的平分线上，∴存在实数λ使得$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{e}$）=λ（-$\frac{3}{5}$，-1-$\frac{4}{5}$）=λ（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
∵|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{10}$，
∴λ²×（$\frac{9}{25}$+$\frac{81}{25}$）=10，解得λ=$\frac{5}{3}$，代入得 $\overrightarrow{OC}$=（-1，-3），
故答案为：（-1，-3）．

点评 本题考查向量的坐标运算，向量的求模公式，综合性较强，解决本题关键是认识到角平分线与向量的关系，求出$\overrightarrow{OB}$方向上的单位向量，用待定系数法将向量$\overrightarrow{OC}$表示出来，属于中档题．