Question

4．已知函数f（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在区间[-1，3]上的最大值为5，最小值为1．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若不等式g（3^x）-t•3^x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解关于a，b的方程组，求出a，b的值从而求出函数的解析式即可；
（2）问题转化为t≤2${（\frac{1}{{3}^{x}}）}^{2}$-2$（\frac{1}{{3}^{x}}）$+1=2${（\frac{1}{{3}^{x}}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$在x∈[0，2]上有解，通过换元法求出t的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=a（x-1）²+b-a（a＞0）及条件，可得$\left\{\begin{array}{l}f（3）=3a+b=5\\ f（1）\;\;=b-a=1\end{array}\right.$，…（3分）
解得 a=1，b=2．故f（x）=x²-2x+2…（6分）
（2）由（1）可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2，
于是题设条件得3^x+$\frac{2}{{3}^{x}}$-2-t•3^x≥0在x∈[0，2]上有解，…（8分）
即t≤2${（\frac{1}{{3}^{x}}）}^{2}$-2$（\frac{1}{{3}^{x}}）$+1=2${（\frac{1}{{3}^{x}}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$在x∈[0，2]上有解，…（10分）
令$\frac{1}{{3}^{x}}$=u∈[$\frac{1}{9}$，1]，∵x∈[0，2]，
则t≤2${（u-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$在u∈[$\frac{1}{9}$，1]上有解…（12分）
当u∈[$\frac{1}{9}$，1]时，2${（u-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，于是t≤1，
因此，实数t的取值范围为（-∞，1]．…（14分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查换元思想，是一道中档题．