Question

17．在△ABC中，M是线段AB的中点，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$，BN与CM相交于点E，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，
（1）用基底$\vec a$，$\vec b$表示$\overrightarrow{BN}$和$\overrightarrow{CM}$；
（2）用基底$\vec a$，$\vec b$表示$\overrightarrow{AE}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法的三角形法则表示；
（2）设$\overrightarrow{ME}=x\overrightarrow{MC}$=x$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}x\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{NE}=y\overrightarrow{NB}$=y$\overrightarrow{a}-$$\frac{1}{3}y\overrightarrow{b}$，用两种方法表示出$\overrightarrow{AE}$，列方程组得出x，y即可表示出$\overrightarrow{AE}$．

解答 解：（1）∵M是线段AB的中点，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{BN}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AN}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CM}$=-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．
（2）设$\overrightarrow{ME}=x\overrightarrow{MC}$=x$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}x\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{NE}=y\overrightarrow{NB}$=y$\overrightarrow{a}-$$\frac{1}{3}y\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}$=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$）$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$，
又$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NE}$=y$\overrightarrow{a}$+（$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{3}y$）$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x=y}\\{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算，属于中档题．