Question

1．若$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，其中a₂=-6，则实数m=$\frac{3}{2}$；a₁+a₃+a₅=$\frac{313}{16}$．

Answer 1

分析 $x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，则x（1-mx）⁴=x$（1-4mx+{∁}_{4}^{2}{m}^{2}{x}^{2}+…）$，可得-4m=a₂=-6，解得m=$\frac{3}{2}$，对$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，分别令x=1时，x=-1时，即可得出．

解答 解：$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，
则x（1-mx）⁴=x$（1-4mx+{∁}_{4}^{2}{m}^{2}{x}^{2}+…）$，则-4m=a₂=-6，解得m=$\frac{3}{2}$．
对：$x\;{（1-mx）^{\;4}}={a_1}\;x+{a_2}\;{x^2}+{a_3}\;{x^3}+{a_4}\;{x^4}+{a_5}\;{x^5}$，
令x=1时，$（1-\frac{3}{2}）^{4}$=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，
x=-1时，-$（1+\frac{3}{2}）^{4}$=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅，
∴2（a₁+a₃+a₅）=$（\frac{1}{2}）^{4}$+$（\frac{5}{2}）^{4}$，
解得a₁+a₃+a₅=$\frac{313}{16}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$，$\frac{313}{16}$．

点评 本题考查了二项式定理的性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．