Question

13．在△ABC中，2asinB=$\sqrt{3}$b，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当角A为锐角，且BC=2时，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理可将2asinB=$\sqrt{3}$b转化为2sinAsinB=$\sqrt{3}sinB$⇒sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得A；
（Ⅱ）当角A为锐角，即A=$\frac{π}{3}$，ABC周长l=a+b+c=2+2R（sinB+sinC）=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]$=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}（\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB）$=2+4sin（B+$\frac{π}{6}$），即可求得△ABC周长的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理可将2asinB=$\sqrt{3}$b转化为2sinAsinB=$\sqrt{3}sinB$
∵sinB≠0，⇒sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）当角A为锐角，即A=$\frac{π}{3}$，
$\frac{BC}{sinA}=2R$，2R=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴ABC周长l=a+b+c=2+2R（sinB+sinC）=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]$=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}（\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB）$
=2+4sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B$∈（0，\frac{2}{3}π）$，∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，则sin（B+$\frac{π}{6}$）$∈（\frac{1}{2}，1]$，
4＜2+4sin（B+$\frac{π}{6}$）≤6，∴△ABC周长的取值范围为（4，6]．

点评 本题考查了正弦定理、三角恒等变形、三角函数的值域，考查了计算能力，属于中档题．