Question

4．已知$tanα=\frac{1}{2}，sin（α+β）=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，其中α，β∈（0，π）．
（1）求cosβ的值；
（2）求α-β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα，cos（α+β）的值，由β=（α+β）-α，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
（2）由已知及同角三角函数基本关系式可求$\frac{π}{2}$＜β＜π，且sinβ，利用两角差的余弦函数公式可求cos（α-β）的值，根据范围-π＜α-β＜0，即可求得α-β的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由tanα=$\frac{1}{2}$，且0＜α＜π得：0＜α＜$\frac{π}{2}$，…（1分）
且sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，cosα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（2分）
又0＜β＜π，所以0＜α+β＜$\frac{3π}{2}$．…（3分）
又由sin（α+β）=$-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$＜0得：
π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，且cos（α+β）=$-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．…（4分）
故cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$•$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$$-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$•$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$=$-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．…（6分）
（2）由cosβ=$-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$＜0且0＜β＜π得，$\frac{π}{2}$＜β＜π，且sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．（8分）
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$•（$-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$）+$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$•$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）
又由0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，得-π＜α-β＜0．…（11分）
所以α-β=$-\frac{3π}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，确定角的范围是关键，属于基础题．