Question

15．在△ABC中，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，当C角最大时，△ABC的面积是多少．

Answer 1

分析 由正弦定理可得a+$\sqrt{2}$b=2c，两边平方后，由余弦定理，基本不等式可求cosC≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，当且仅当a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b时等号成立，由余弦函数的图象和性质可求C的最大值为$\frac{5π}{12}$，可求此时，b，a的值，由三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，
∴a+$\sqrt{2}$b=2c，可得：a²+2b²+2$\sqrt{2}$ab=4c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{{a}^{2}+2{b}^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}}{2ab}$=$\frac{\frac{3{a}^{2}}{4}+\frac{{b}^{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$≥$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}ab-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，当且仅当a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b时等号成立，
又∵cosC在（0，π）上单调递减，
∴C的最大值为$\frac{5π}{12}$，此时，b=3，a=$\sqrt{6}$，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，余弦函数的图象和性质，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．