Question

5．已知函数f（x）=e^x+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（1）证明：a＜-e；
（2）证明：$f'（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$；（其中f'（x）为f（x）的导函数）．
（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记$\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=t$，求$（t-1）（a+\sqrt{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）讨论a的符号，判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，根据零点个数得出f（x）的极小值为负数，列出不等式解出a；
（2）计算f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$），根据函数单调性判断f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）的符号即可；
（3）用x₁，x₂表示出P点坐标，根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系，再计算（t-1）（a+$\sqrt{3}$）的值．

解答 （1）证明：f（x）=e^x+ax，
∴f′（x）=e^x+a，
若a≥0，则f'（x）＞0，则函数f（x）在R上单调递增，这与题设矛盾．
∴a＜0，
令f′（x）＞0得x＞ln（-a），令f′（x）＜0得x＜ln（-a），
∴f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）上单调递增，
∴f（x）有两个零点，
∴f_min（x）=f（ln（-a））=-a+aln（-a），
∴-a+aln（-a）＜0，解得a＜-e．
（2）证明：∵x₁，x₂是f（x）的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}+{ax}_{1}=0}\\{{e}^{{x}_{2}}+{ax}_{2}=0}\end{array}\right.$，
两式相减得：a=-$\frac{{e}^{{x}_{2}}{-e}^{{x}_{1}}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$．
记 $\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{2}$=s，则f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=${e}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$-$\frac{{e}^{{x}_{2}}{-e}^{{x}_{1}}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}}{2s}$[2s-（e^s-e^-s）]，
设g（s）=2s-（e^s-e^-s），则g′（s）=2-（e^s+e^-s）＜0，
∴g（s）是减函数，
∴g（s）＜g（0）=0，
又 $\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}}{2s}$＞0，∴f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＜0．
（3）解：由 $\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}+{ax}_{1}=0}\\{{e}^{{x}_{2}}+{ax}_{2}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}={ax}_{1}}\\{{e}^{{x}_{2}}={ax}_{2}}\end{array}\right.$，
∴${e}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$=-a $\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$，
设P（x₀，y₀），在等边三角形ABC中，易知x₀=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$∈（x1，x2），y₀=f（x₀）＜0，
由等边三角形性质知y₀=-$\frac{\sqrt{3}{（x}_{2}{-x}_{1}）}{2}$，
∴y₀+$\frac{\sqrt{3}{（x}_{2}{-x}_{1}）}{2}$=0，即${e}^{\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}}$+$\frac{a}{2}$（x₂+x₁）+$\frac{\sqrt{3}{（x}_{2}{-x}_{1}）}{2}$=0，
∴-a$\sqrt{{{x}_{1}x}_{2}}$+$\frac{a}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{\sqrt{3}（x}_{2}{-x}_{1}）}{2}$=0，
∵x₁＞0，∴-a $\sqrt{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$+$\frac{a}{2}$（ $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+1）+$\frac{\sqrt{3}（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{2}$=0，
∴-at+$\frac{a}{2}$（t²+1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t²-1）=0，即（a+$\sqrt{3}$）t²-2at+a-$\sqrt{3}$=0，
∴[（a+$\sqrt{3}$）t+$\sqrt{3}$-a]（t-1）=0，
∵t＞1，∴（a+$\sqrt{3}$）t+$\sqrt{3}$-a=0，
∴t=$\frac{a-\sqrt{3}}{a+\sqrt{3}}$，t-1=-$\frac{2\sqrt{3}}{a+\sqrt{3}}$，
∴（t-1）（a+$\sqrt{3}$）=-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的判断与应用，属于综合题．