Question

15．已知函数f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数g（x）=f（6-x），求证：当x＞3时，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由导函数大于0求得函数的增区间，由导函数小于0求得函数的减区间，进一步得到函数的极大值；
（2）求出g（x），构造函数h（x）=f（x）-g（x），求导可知函数g（x）在（3，+∞）上为增函数，由h（x）＞h（3）证得结论．

解答 解：（1）f′（x）$\frac{{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜3，
令f′（x）＜0，解得：x＞3，
故f（x）在（-∞，3）递增，在（3，+∞）递减，
故f（x）_极大值=f（3）=$\frac{1}{{e}^{3}}$；
证明：（2）g（x）=f（6-x）=$\frac{4-x}{{e}^{6-x}}$，
令h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$-$\frac{4-x}{{e}^{6-x}}$，（x＞3），
则h′（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$$-\frac{3-x}{{e}^{6-x}}$=$（3-x）（\frac{1}{{e}^{x}}-\frac{1}{{e}^{6-x}}）$．
当x＞3时，x＞6-x，e^x＞e^6-x＞0，则$\frac{1}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{{e}^{6-x}}$．
∴h′（x）＞0，函数h（x）在（3，+∞）上为增函数，
则h（x）＞h（3）=$\frac{3-2}{{e}^{3}}-\frac{4-3}{{e}^{3}}=0$．
∴当x＞3时，f（x）＞g（x）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数证明函数不等式的方法，是中档题．