Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$-\frac{c}{cosB}$是$\frac{b}{cosB}$与$\frac{a}{cosA}$的等差中项且a=8，△ABC的面积为$4\sqrt{3}$，则b+c的值为$4\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由等差数列的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式可求sinC=-2sinCcosA，结合sinC≠0，可得cosA=-$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得：64=（b+c）²-bc，利用三角形面积公式可求bc=16，联立可得b+c的值．

解答 解：∵由已知可得$\frac{-2c}{cosB}$=$\frac{b}{cosB}+$$\frac{a}{cosA}$，
∴利用正弦定理整理可得：sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosA，
∴sinC=-2sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴解得cosA=-$\frac{1}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$；
∵a=8，由余弦定理可得：64=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，①
∵△ABC的面积为$4\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc，可得：bc=16，②
∴联立①②可得：b+c=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．