本题主要考查了切线的判定定理的应用,直角三角形基本关系的应用,属于基本知识的简单综合.
(Ⅰ)要证明AC是△BDE的外接圆的切线,故考虑取BD的中点O,只要证明OE⊥AC,结合∠C=90°,证明BC∥OE即可
(Ⅱ)设⊙O的半径为r,则在△AOE中,由OA
2=OE
2+AE
2,可求r,代入可得OA,2OE,Rt△AOE中,可求∠A,∠AOE,进而可求∠CBE=∠OBE,在BCE中,通过EC与BE的关系可求
解:(1)取BD的中点O,连结OE
∵DE⊥EB
∴DB是△BED的外接圆的直径,
∴OE是⊙O的半径
∴BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∵OE=OB ∴∠ABE=∠DEO
∴∠DEO=∠EBC,∴EO∥BC
∵∠C=90º,∴∠AEO=90º ∴AC是⊙O的切线……….6分
(2)由(1)得:AE
2=AD•AB
∴(6
)
2=6•AB,AB=12,∴OE=OD=3,AO=9
∵EO∥BC,∴
,即
,∴BC=4………12分