Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再根据a讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，（2）先分离，再利用导数研究函数单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数的取值范围.

试题解析：（1）∵

①若时，，此时函数在上单调递增；

②若时，又得：

时，此时函数在上单调递减；

当时，此时函数在上单调递增；

（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，

即函数图像与函数图像有两个不同的交点，

因为，令得：

所以当时，，函数在上单调递减

当时，，函数在上单调递增；

则，而，且，

要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，

所以的取值范围为.