【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间上存在两个不同零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)先求导数,再根据a讨论导函数零点,根据导函数零点情况讨论导函数符号,根据导函数符号确定函数单调性,(2)先分离,再利用导数研究函数单调性,最后根据图像确定存在两个不同零点的条件,解对应不等式得实数的取值范围.
试题解析:(1)∵
①若时,,此时函数在上单调递增;
②若时,又得:
时,此时函数在上单调递减;
当时,此时函数在上单调递增;
(2)由题意知:在区间上有两个不同实数解,
即函数图像与函数图像有两个不同的交点,
因为,令得:
所以当时,,函数在上单调递减
当时,,函数在上单调递增;
则,而,且,
要使函数图像与函数图像有两个不同的交点,
所以的取值范围为.
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【题目】小赵和小王约定在早上至之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有班公交车到达该站,到站的时间分别为,,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为__________.
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【题目】已知定点S( -2,0) ,T(2,0),动点P为平面上一个动点,且直线SP、TP的斜率之积为.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点,是否存在直线l,使得l交轨迹E于M,N两点,且F(1,0)恰是△BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著下图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述正确的是( ).
A.这五年,2013年出口额最少
B.这五年,出口总额比进口总额多
C.这五年,出口增速前四年逐年下降
D.这五年,2017年进口增速最快
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【题目】著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的LOGO为,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆,其右焦点F到其右准线的距离为1,离心率为,A,B分别为椭圆的上、下顶点,过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆交于C,D两点,与y轴交于点P,直线与交于点Q.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,求直线的方程;
(3)求证:为定值.
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【题目】日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20°B.40°
C.50°D.90°
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