Question

【题目】关于函数,下列说法正确的是______（填上所有正确命题序号）.（1）是的极大值点 ；（2）函数有且只有1个零点；（3）存在正实数，使得恒成立 ；（4）对任意两个正实数，且，若，则.

Answer 1

【答案】（2）（4）

【解析】

利用导数求得函数的单调性与极值（最值），即可判定（1）（4），构造新函数，求得新函数的单调性，即可判定（2），由，可得，令，取得函数的的单调性与最值，即可判定（3），得到答案..

由题意，函数，则，

可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，所以（1）不正确；

由函数，所以，

可得函数在区间上单调递减，

当时，，当时，，所以函数有且只有1个零点，所以（2）正确；

由，可得，令，则，

令，则，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，所以，所以 ，

所以在上单调递减，函数无最小值，

所以不存在正整数，使得恒成立，所以（3）不正确；

对于任意两正实数，且，

由（1）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

若，则，所以（4）正确.

证明如下：不妨设 ，则，

由

令，则，

原式，则，

所以在上是减函数，

所以，所以，

又因为在上单调递增，所以，故。