Question

【题目】如图，设是由 个实数组成的行列的数表，其中 表示位于第行第列的实数，且.

定义 为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.

（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；

（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；

（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据定义确定一个解即可，（Ⅱ）先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，（Ⅲ）把作为研究对象，根据条件可得，根据定义可得.最后根据不等关系：证得结果.

（Ⅰ）答案不唯一. 如

1	1
	1

（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表. 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：

（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；

（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.

完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：

在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），

则

由，得；

由，得；

由，得.

解方程组，，，，得. 这与矛盾，

所以不存在10行10列的完美数表.

（Ⅲ）记第1列前行中的数的和，

第2列前行中的数的和 ，……，

第n列前行中的数的和，

因为对于任意的和，都有，

所以.

又因为对于任意（），都有，

所以.

又因为，

所以，即.