Question

如图，扇形OAB的半径为2，圆心角为

π

3

，∠AOB的平分线 交弧AB于点C，P为弧AC上一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，若设∠POC=θ．
﹙Ⅰ﹚写出四边形OMPN的面积S关于θ的函数关系式及其定义域；
﹙Ⅱ﹚P点在何处时S最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由题意结合三角形的面积公式可得S=S_△OMP+S_△ONP=

3

cosθ，θ∈[0，

π

6

]；
（Ⅱ）由余弦函数的单调性可得．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得S=S_△OMP+S_△ONP=

1

2

•OM•MP+

1

2

•ON•NP
=

1

2

×2sin（

π

6

-θ）•2cos（

π

6

-θ）+

1

2

×2sin（

π

6

+θ）•2cos（

π

6

+θ）
=sin（

π

3

-θ）+sin（

π

3

+θ）=

3

cosθ，θ∈[0，

π

6

]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S=

3

cosθ，θ∈[0，

π

6

]，
∴当θ=0时，S取最大值

3

，此时P在C处．

点评：本题考查三角函数的实际应用，涉及三角形的面积公式，属基础题．