Question

已知曲线C：

x=2cosθ y=3+2sinθ

(θ∈R)，一动直线l过A（-1，0）与曲线C相交于P，Q两点，M为P，Q中点，l与直线x+3y+6=0相交于N，则|AM|•|AN|=

5

．

Answer 1

分析：设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂径定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，将比例线段转化为等积式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|=5．

解答：解：把曲线C：

x=2cosθ y=3+2sinθ

(θ∈R) 消去参数θ化为普通方程为 x²+（y-3）²=4．  
设连接CA并延长交直线x+3y+6=0相交于G，连接CM可得AC的斜率为kAC=

3-0

0+1

=3．
∵直线x+3y+6=0的斜率为K1=-

1

3

，kAC•k1=3×（-

1

3

）=-1，

∴直线AC与直线x+3y+6=0垂直．

又∵圆C中，M为弦PQ的中点，∴CM⊥PQ，

因此△AGN∽△AMC，可得

AC

AN

=

AM

AG

，∴|AM|•|AN|=|AC|•|AG|．
又∵|AC|=

(-1-0)2+(3-0)2

=

10

，AG=

|-1+3×0+6|

10

=

10

2

，
∴|AC|•|AG|=

10

×

10

2

=5，
故答案为 5．

点评：本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题，利用垂径定理得到三角形相似是解决本题的关键．