Question

6．如图所示的几何体为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面QBC；
（Ⅱ）求该组合体的体积．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BC，结合BC⊥AB推出BC⊥平面PAB，于是平面PAB⊥平面QBC；
（II）连接BD，过B作BO⊥AD于O，分别求出四棱锥B-PADQ和三棱锥Q-BCD的体积即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵QD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．又∵BC?平面QBC，
∴平面PAB⊥平面QBC．
（Ⅱ）连接BD，过B作BO⊥AD于O．
∵PA⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，
∴PA⊥BO，
又BO⊥AD，AD?平面PADQ，PA?平面PADQ，PA∩AD=A，
∴BO⊥平面PADQ，
∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BO=$\sqrt{3}$．
∴V_B-PADQ=$\frac{1}{3}$S_梯形PADQ•BO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，
∴BC=CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×sin30°$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵QD⊥平面ABCD，∴V_Q-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•QD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．
∴该组合体的体积V=V_B-PADQ+V_Q-BCD=$\frac{11\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．