Question

15．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N为线段AC上的点，若MN=2，则三棱锥P-MNB的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 取AC的中点O，连结PO，BO，则利用面面垂直的性质可证PO⊥平面ABC，利用勾股定理计算BO，PO，于是V_P-BMN=$\frac{1}{3}{S}_{△BMN}•PO$．

解答 解取AC的中点O，连结PO，BO．
∵PA=PC，O是AC的中点，
∴PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABC．
∵AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，BO=AO=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}$，∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_P-MNB=$\frac{1}{3}{S}_{△BMN}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．