Question

7．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则使（n+1）S_n取最小值的n等于6或7．

Answer 1

分析 由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a₁与公差d的值，结合导数求出nS_n的最小值．

解答 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵S₁₀=10a₁+45d=0，S₁₅=15a₁+105d=25，
∴a₁=-3，d=$\frac{2}{3}$，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n+1）}{2}$d=$\frac{1}{3}$n²-$\frac{10}{3}$n，
∴（n+1）S_n=$\frac{1}{3}$n³-$\frac{10}{3}$n²+$\frac{1}{3}$n²-$\frac{10}{3}$n=$\frac{1}{3}$n³-3n²-$\frac{10}{3}$n
令nS_n=f（n），
∴f′（n）=n²-6n-$\frac{10}{3}$，
∴当n=$3+\frac{1}{3}\sqrt{37}$时，f（n）取得极值，当3$-\frac{1}{3}\sqrt{37}$＜n＜$3+\frac{1}{3}\sqrt{37}$时，f（n）递减；当n＞$3+\frac{1}{3}\sqrt{37}$时，f（n）递增；
因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=-56，f（7）=-56，
故（n+1）S_n的最小值为-59．
故答案为：6或7．

点评 此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，函数的导数的应用，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．