Question

19．甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N⁺）局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为$\frac{1}{2}$．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P（n）．
（1）求P（2）与P（3）的值；
（2）试比较P（n）与P（n+1）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，由此能求出P（2），同理能求出P（3）的值．
（2）在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局，从而$P（{n+1}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}}）$，由此能求出P（n）＜P（n+1）．

解答 解：（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，
所以$P（2）=C_4^3{（{\frac{1}{2}}）^4}+C_4^4{（{\frac{1}{2}}）^4}=\frac{5}{16}$，
同理$P（3）=C_6^4{（{\frac{1}{2}}）^6}+C_6^5{（{\frac{1}{2}}）^6}+C_6^6{（{\frac{1}{2}}）^6}=\frac{11}{32}$．
（2）在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n+1局，
故$P（n）=C_{2n}^{n+1}{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}+C_{2n}^{n+2}{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}+…+C_{2n}^{2n}{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}$=$（{C_{2n}^{n+1}+C_{2n}^{n+2}+…+C_{2n}^{2n}}）•{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}=\frac{1}{2}（{{2^{2n}}-C_{2n}^n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{2n}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{{C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}}）$，
所以$P（{n+1}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}}）$，
又因为$\frac{{\frac{{C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}}}{{\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}}}=\frac{{4C_{2n}^n}}{{C_{2n+2}^{n+1}}}=\frac{{4\frac{{（{2n}）!}}{n!n!}}}{{\frac{{（{2n+2}）!}}{{（{n+1}）!（{n+1}）!}}}}=\frac{{4{{（{n+1}）}^2}}}{{（{2n+2}）（{2n+1}）}}=\frac{{2（{n+1}）}}{2n+1}＞1$，
所以$\frac{{C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}＞\frac{{C_{2n+2}^{n+1}}}{{{2^{2n+2}}}}$，所以P（n）＜P（n+1）．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．