Question

2．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成角为60°，且点E在平面ABC上射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC
（2）求此空间几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点O，连结DO，BO，过E作EF⊥平面ABC，则F在BO上．可证四边形DOFE是平行四边形，于是DE∥BO，得出DE∥平面ABC；
（2）将几何体分解成两个三棱锥E-ACD和E-ABC，分别计算小三棱锥的体积即可．

解答 证明：（1）取AC的中点O，连结DO，BO，
∵△ACD，△ABC是边长为2的等边三角形，
∴DO⊥AC，DO=$\sqrt{3}$，
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，
∴DO⊥平面ABC，
过E作EF⊥平面ABC，则F在BO上．∴EF∥DO．
∵BE=2，∠EBF=60°，∴BF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴DO$\stackrel{∥}{=}$EF，∴四边形DOFE是平行四边形，
∴DE∥OF，
又DE?平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，BO⊥AC，BO?平面ABC，
∴BO⊥平面ACD，又BO∥DE，
∴DE⊥平面ACD．
∵DE=OF=$\sqrt{3}-1$，
∴V_E-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×（\sqrt{3}-1）$=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
V_E-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=1．
∴几何体体积V=V_E-ACD+V_E-ABC=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．