Question

13．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a-c）sinA+csinC-bsinB=0．
（1）求B的值；
（2）求sinA+sinC的最大值及此时A，C的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出cosB，由内角的范围求出B；
（2）由（I）和内角和定理求出C，代入sinA+sinC后利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子sinA+sinC的最大值，以及此时A，C的值．

解答 解：（1）由已知得，（a-c）sinA+csinC-bsinB=0，
根据正弦定理得（a-c）a+c²-b²=0，
化简得b²=a²+c²-ac     …（3分）
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
所以cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π得B=$\frac{π}{3}$ …（6分）
（II）由（I）得：C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，
sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=$\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$              …（10分）
当$A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$时，
所以当A=$\frac{π}{3}$时，且C=$\frac{π}{3}$，sinA+sinC取得最大值$\sqrt{3}$．…（13分）

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及正弦函数的性质，属于中档题．