Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，
∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD得出AB∥平面PCD，利用线面平行的性质得出AB∥EF；
（2）过P作PG⊥AD于G，由面面垂直的性质得出PG⊥平面ABCD，于是V_A-PBD=V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PG$．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF．
（2）过P作PG⊥AD于G，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，PG?平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD．
∵△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，
∴PG=$\sqrt{3}$，S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$．
∴V_A-PBD=V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PG$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．