Question

15．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称|$\overrightarrow{MN}$|的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（　　）

• A． y=x²
• B． y=$\frac{2}{x}$
• C． y=x-$\frac{1}{x}$
• D． y=sin$\frac{π}{3}$x

Answer 1

分析 根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．

解答 解：当y=f（x）=x²时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y=3x-2，
故|$\overrightarrow{MN}$|=3x-2-x²，当x=$\frac{3}{2}$时，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值为$\frac{1}{4}$，即该函数的“曲径”为$\frac{1}{4}$，
当y=f（x）=$\frac{2}{x}$时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y=-x+3，
故|$\overrightarrow{MN}$|=-x+3-$\frac{2}{x}$，当x=$\sqrt{2}$时，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值为3-2$\sqrt{2}$，即该函数的“曲径”为3-2$\sqrt{2}$，
当y=f（x）=x-$\frac{1}{x}$时，端点A（1，0），B（2，$\frac{3}{2}$），直线AB的方程为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
故|$\overrightarrow{MN}$|=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{2}$，当x=$\sqrt{2}$时，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值为$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，即该函数的“曲径”为$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，
当y=f（x）=sin$\frac{π}{3}$x时，端点A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故|$\overrightarrow{MN}$|=sin$\frac{π}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当x=$\frac{3}{2}$时，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即该函数的“曲径”为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函数y=x-$\frac{1}{x}$的曲径最小，
故选：C．

点评 本题以新定义--函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，难度中档．