Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（{a＞b＞0}），F₁，F₂是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P（a，b）与F₁，F₂围成等腰三角形，且${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\sqrt{3}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线x=-4与QA，QB分别交于M，N两点．
（i）当$\overrightarrow{Q{F_1}}$=λ$\overrightarrow{MN}$时，求Q点坐标；
（ii）过点M，N，F₁三点的圆是否经过x轴上不同于点F₁的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，F₁F₂=PF₂，即（a-c）²+b²=4c²，再由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\sqrt{3}$，得bc=$\sqrt{3}$，然后结合隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（i）由$\overrightarrow{Q{F}_{1}}=λ\overrightarrow{MN}$，得则QF₁⊥x轴，由（Ⅰ）求得F₁（-1，0），设Q（-1，y），代入椭圆方程即可求得Q坐标；
（ii）设Q（x₀，y₀），得直线QA方程为$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，求出M点的坐标为（-4，$-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）．同理得N的坐标为（-4，$-\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）．进一步求出MN，设圆心坐标为（m，n），若x轴上存在定点E（λ，0）满足条件，则有$m=\frac{λ-1}{2}，n=\frac{1}{2}（\frac{-6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}+\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）=\frac{3（{x}_{0}+1）}{{y}_{0}}$，由题意可得$（m+4）^{2}+\frac{M{N}^{2}}{4}={n}^{2}+\frac{E{{F}_{1}}^{2}}{4}$．两式联立求得λ值得答案．

解答 解：（Ⅰ）F₁（-c，0），F₂（c，0），由题意可得，F₁F₂=PF₂，
∴（a-c）²+b²=4c²，
由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²，联立可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（i）∵$\overrightarrow{Q{F}_{1}}=λ\overrightarrow{MN}$，
∴QF₁∥MN，则QF₁⊥x轴，
由（Ⅰ）知，c²=1，则F₁（-1，0），
设Q（-1，y），则有$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，即y=$±\frac{3}{2}$，
∴Q（-1，$±\frac{3}{2}$）；
（ii）设Q（x₀，y₀），则${k}_{QA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，直线QA方程为$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，
令x=-4，得M点的坐标为（-4，$-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）．
同理${k}_{QB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，直线QB的方程为$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
得N的坐标为（-4，$-\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）．
MN=|$\frac{-6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}-\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$|=$\frac{3（{x}_{0}+4）}{|{y}_{0}|}$．
设圆心坐标为（m，n），若x轴上存在定点E（λ，0）满足条件，则有
$m=\frac{λ-1}{2}，n=\frac{1}{2}（\frac{-6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}+\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）=\frac{3（{x}_{0}+1）}{{y}_{0}}$，
由题意可得$（m+4）^{2}+\frac{M{N}^{2}}{4}={n}^{2}+\frac{E{{F}_{1}}^{2}}{4}$．
代入得$（\frac{λ-1}{2}+4）^{2}+\frac{1}{4}•\frac{9（{x}_{0}+4）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}=\frac{9（{x}_{0}+1）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+$$\frac{（λ+1）^{2}}{4}$．
即$（\frac{λ-1}{2}+4）^{2}-\frac{（λ+1）^{2}}{4}=\frac{36（{x}_{0}+1）^{2}-9（{x}_{0}+4）^{2}}{4{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{9（3{{x}_{0}}^{2}-12）}{4{{y}_{0}}^{2}}=-9$．
整理得λ=-7．
∴x轴上存在点E（-7，0）满足题意．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查逻辑思维能力及运算求解能力，属难题．