Question

2．对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A． [-3，4]
• B． [0，2]
• C． $[{-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}}]$
• D． [-4，5]

Answer 1

分析 对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sin²θ+cos²θ=1，可得$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，可得M≥|2x-1|，解出即可得出．

解答 解：∵对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$），sin²θ+cos²θ=1，
∴$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$=（sin²θ+cos²θ）$（\frac{1}{si{n}^{2}θ}+\frac{4}{co{s}^{2}θ}）$=5+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥5+2×2=9，当且仅当$tanθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∵不等式$\frac{1}{{{{sin}^2}θ}}$+$\frac{4}{{{{cos}^2}θ}}$≥|2x-1|恒成立，
∴9≥|2x-1|，
∴-9≤2x-1≤9，
解得-4≤x≤5，
则实数x的取值范围是[-4，5]．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数求值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．