Question

12．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB．
（1）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（2）若AB=1，求四棱锥C-ABED的体积．

Answer 1

分析 （1）取CE的中点G，连FG、BG，由三角形的中位线定理可得GF∥DE，且GF=$\frac{1}{2}$DE．再由线面垂直的性质可得AB∥DE，则GF∥AB．结合AB=$\frac{1}{2}$DE，得到则四边形GFAB为平行四边形，得AF∥BG．在等边三角形ACD中，得到AF⊥CD，结合DE⊥平面ACD，可得DE⊥AF．由线面垂直的判定得故AF⊥平面CDE．进一步得到BG⊥平面CDE，由面面垂直的判定得平面平面BCE⊥平面CDE；
（2）取AD中点M，连接CM，在△ACD中，可得AF=CM，从而得到V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED=$\frac{1}{3}$AF•S_ABED=$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE，且GF=$\frac{1}{2}$DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，则GF∥AB．
又AB=$\frac{1}{2}$DE，
∴GF=AB，则四边形GFAB为平行四边形，得AF∥BG．
∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，
∴BG⊥平面CDE
又BG?平面BCE，
∴平面平面BCE⊥平面CDE；
（2）解：取AD中点M，连接CM，
∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，
∴CM⊥平面ABED，
∴CM为四棱锥C-ADEB的高，
∴V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED=$\frac{1}{3}$AF•S_ABED=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，是中档题．