Question

3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a（x＜1）}\\{ln（x+a）（x≥1）}\end{array}\right.$，其中a＞-1．若f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [e+1，+∞）
• B． （e+1，+∞）
• C． （e-1，+∞）
• D． [e-1，+∞）

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a（x＜1）}\\{ln（x+a）（x≥1）}\end{array}\right.$，在R上是增函数，则e-a≤ln（1+a），解不等式可得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-a（x＜1）}\\{ln（x+a）（x≥1）}\end{array}\right.$，其中a＞-1在R上是增函数，
∴e-a≤ln（1+a），即ln（1+a）-e+a≥0，
令g（a）=ln（1+a）-e+a，则g′（a）=$\frac{1}{1+a}$+1，
当a＞-1时，g′（a）＞0恒成立，
又由g（e-1）=0，
故ln（1+a）-e+a≥0可化为：a≥e-1，
故实数a的取值范围是[e-1，+∞），
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法求函数的最值，难度中档．