Question

13．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），做出了散点图（如图）．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^{10}{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^{10}{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）$	$\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\overline w）}（{y_i}-\overline y）$
1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中w_i=$\frac{1}{x_i^2}，\overline w=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+$\frac{d}{x^2}$哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋转角x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转角x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），（u₃，v₃），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{v}_{i}-\overline{v}）（{u}_{i}-\overline{u}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；
（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．

解答 解：（1）$y=c+\frac{d}{x^2}$更适宜作烧水时间y关于开关旋转角x的回归方程类型．
（2）由公式可得：$d=\frac{16.2}{0.81}=20，c=20.6-20×0.78=5$，所以回归方程为y=5+$\frac{20}{{x}^{2}}$．
（3）设t=kx，则煤气用量S=yt=kx（5+$\frac{20}{{x}^{2}}$）=5kx+$\frac{20k}{x}$≥2$\sqrt{5kx•\frac{20k}{x}}$=20k，
当且仅当5kx=$\frac{20k}{x}$时取“=”，即x=2时，煤气用量最小．

点评 本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，属于中档题．