Question

8．△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，若a=4，AD=c-b，则△ABC的面积的最大值为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△ABD和△ACD中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．

解答 解：在△ABC中，∵角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，
若a=4，AD=c-b，
则$\left\{\begin{array}{l}{c}^{2}={2}^{2}+（c-b）^{2}-4（c-b）cos∠ADB\\{b}^{2}={2}^{2}+（c-b）^{2}-4（c-b）cos∠ADC\end{array}\right.$，
∵∠ADB=π-∠ADC，
∴b²+c²=8+2（c-b）²，即b²+c²-4bc+8=0，
故cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，
故sinA=$\sqrt{1-{cos}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{2bc-12}{bc}）^{2}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$≤$2\sqrt{3}$，
即△ABC的面积的最大值为$2\sqrt{3}$，
故答案为：$2\sqrt{3}$

点评 本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．