Question

19．下列四个数中，正数的个数是①④．
①$\frac{b+m}{a+m}$-$\frac{b}{a}$，a＞b＞0，m＞0；
②（$\sqrt{n+3}$+$\sqrt{n}$）-（$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+1}$），n∈N^*；
③2（a²+b²）-（a+b）²，a，b∈R；
④$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$-2，x∈R．

Answer 1

分析 ①作差，通分即可比较，
（2）平方法，即可比较，
（3）配方即可比较，
（4）利用基本不等式即可比较．

解答 解：①∵a＞b＞0，m＞0；
∴$\frac{b+m}{a+m}$-$\frac{b}{a}$=$\frac{m（a-b）}{a（a+m）}$＞0，故①正确；
②∵（$\sqrt{n+3}$+$\sqrt{n}$）²=2n+3+2$\sqrt{n（n+3）}$=2n+3+2$\sqrt{{n}^{2}+3n}$，（$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+1}$）²=2n+3+2$\sqrt{（n+2）（n+1）}$=2n+3+2$\sqrt{{n}^{2}+3n+2}$
∴（$\sqrt{n+3}$+$\sqrt{n}$）-（$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n+1}$）＜0，故②错误；
③∵a，b∈R；
∴2（a²+b²）-（a+b）²=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，故③错误；
④∵$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\frac{（\sqrt{{x}^{2}+2}）^{2}+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2，
∴$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$-2＞0，故④正确；
故正数的个数是①④，
故答案为：①④．

点评 本题考查了比较大小的方法，作差法，平方法，基本不等式法，配方法，属于基础题．