Question

10．已知正棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△PAC为等腰直角三角形，PA=6，底面ABCD为平行四边形，且∠ABC+∠ADC=90°，E为线段AD的中点，F在线段PD上运动，记$\frac{PF}{PD}$=λ．
（1）若λ=$\frac{1}{2}$，证明：平面BEF⊥平面ABCD；
（2）当λ=$\frac{1}{3}$时，PA=AB=AC，求三棱锥C-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥PA，利用PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，即可证明平面BEF⊥平面ABCD；
（2）利用三棱锥C-BEF的体积=三棱锥F-BEC的体积，求三棱锥C-BEF的体积．

解答 （1）证明：λ=$\frac{1}{2}$，则F为线段PD的中点，故EF∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABCD；
（2）解：当λ=$\frac{1}{3}$时，∵PA=6，∴F到平面ABCD的距离d=4．
∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠ABC=∠ADC=45°，
△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴S_△BEC=S_△ABC=$\frac{1}{2}×6×6$=18
∴三棱锥C-BEF的体积=三棱锥F-BEC的体积=$\frac{1}{3}×18×4$=24．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．