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已知函数f(x)x2(12a)xaln x(a为常数)

(1)a=-1时,求曲线yf(x)x1处切线的方程;

(2)a0时,讨论函数yf(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.

 

1y2x.2)①0a时,f(x)的单调增区间是(0a),单调减区间是a时,f(x)在区间(0,1)上是单调增函数.a1时,f(x)的单调增区间是(a,1),单调减区间是a≥1时,f(x)的单调增区间是,单调减区间是

【解析】(1)a=-1时,f(x)x2xln x,则f′(x)2x1(2)

所以f(1)2,且f′(1)2.

所以曲线yf(x)x1处的切线的方程为:y22(x1)

即:y2x.(6)

(2)由题意得f′(x)2x(12a) (x0)

f′(x)0,得x1x2a(8)

0a时,由f′(x)0,又知x00xax1

f′(x)0,又知x0,得ax

所以函数f(x)的单调增区间是(0a),单调减区间是(10)

a时,f′(x)≥0,且仅当x时,f′(x)0?

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数.(11)

a1时,由f′(x)0,又知x00xax1

f′(x)0,又知x0,得xa

所以函数f(x)的单调增区间是(a,1),单调减区间是(13)

a≥1时,由f′(x)0,又知x00x

f′(x)0,又知x0,得x1

所以函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是.(16)

 

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