Question

如图，正方形ABCD，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2 cm/s的速度向点C运动，设E离开点B的时间为t s．

(1)当t为何值时，线段EF与BC平行；

(2)设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切?

(3)当时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请给予证明，并求AP∶PC的值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DC，而EF∥BC，∴BE=FC．∵BE=t，CF=4－2t，∴t=4－2t，得，即当时，线段EF∥BC． (2)设E、F出发t s时，EF与半圆相切，如图(3)， ∴EF=EM＋MF=EB＋FC(切线长定理)． 作FK⊥AB，进而KB=FC． 又∵， 于是， 即，解之，得． ∵1＜t＜2，∴， 即当时，EF与半圆相切． (3)当时，点P的位置不会发生变化． 事实上，设时，E、F出发t s后的线段位置，如图(4)， 则， 而由AB∥DC，有△APE∽△CPF， 可知，这个比值显然与t无关，因而点P的位置不会发生变化．

提示：

分析：本题是典型的运动几何问题，用运动变化观点分析与看待此问题．对于(1)与(2)的解答均是先假设结论成立，逆向思考从而求出t的值．对于(3)讨论是否与t有关，可判定点P的位置是否发生变化．