Question

19．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x²f′（x）＞0，则不等式（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0的解集为（　　）

• A． （2012，+∞）
• B． （0，2012）
• C． （0，2016）
• D． （2016，+∞）

Answer 1

分析 先构造函数g（x）=x²f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g（x）在（0，+∞）为增函数，由（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0得到g（x-2014）＞g（2）根据函数的单调性即可求出答案

解答 解：令g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
∵2f（x）+x²f′（x）＞0，
∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）为增函数，
∵（x-2014）²f（x-2014）-4f（2）＞0，
∴（x-2014）²f（x-2014）＞4f（2），
∵g（2）=4f（2），
∴g（x-2014）＞g（2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2014＞2}\\{x-2014＞0}\end{array}\right.$，
解得x＞2016，
故选D．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．