Question

13．记f^（n）（x）为函数f（x）的n（n∈N^*）阶导函数，即f^（n）（x）=[f^（n-1）（x）]′（n≥2，n∈N^*）．若f（x）=cosx，且集合M={m|f^（m）（x）=sinx，m∈N^*，m≤2017}，则集合M中元素的个数为（　　）

• A． 1006
• B． 1007
• C． 503
• D． 504

Answer 1

分析 根据题意，依次求出f^（2）、f^（3）（x）、f^（4）（x）、f^（5）（x）的值，分析可得f^（n）（x）=f ^（n+4）（x），分析M={m|f^（m）（x）=sinx，m∈N^*，m≤2017}中m可取的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=cosx，
f^（2）（x）=（cosx）′=-sinx，
f^（3）（x）=（-sinx）′=-cosx，
f^（4）（x）=（-cosx）′=sinx，
f^（5）（x）=（sinx）′=cosx，
…
分析可得：f^（5）（x）=f（x），f^（6）（x）=f ^（2）（x），f^（7）（x）=f ^（3）（x），…
即有f^（n）（x）=f ^（n+4）（x），
集合M={m|f^（m）（x）=sinx，m∈N^*，m≤2017}，
则m的值为5、9、13、…2017，共504个；
故选：D．

点评 本题考查导数的计算，关键是对函数f（x）=cosx逐次求导，发现其中变化的规律．