Question

【题目】如图，在三棱柱中，，侧面为矩形，．将绕翻折至，使在平面内．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）根据题意证明，，可以得到平面平面，再由平面，即可证明平面；

（2）易知，直线与平面所成角即直线与平面所成角，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，即可求解．

（1）如图，连接，记，

因为，所以四边形为菱形，

又，所以，

则，，

由，，知，

故，故，又平面，

平面，所以∥平面，同理平面，且

，∴平面平面．

又平面，∴平面．

（2）连接，则，易知，

∴直线与平面所成角即直线与平面所成角．

以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，连接，设，

由题意知，，故，

则，．

设平面法向量为，

则，即，取，

∴（为直线与平面所成的角），

即直线与平面所成角的正弦值为．