Question

【题目】已知在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，DA1＝DD1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点.

（1）求证：EF∥平面CC1D1D；

（2）求证：AC⊥平面EBD.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.

（2）通过证明，结合面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，由菱形的性质得到，从而证得平面.

（1）连结CD1，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1B1C1D1，BB1C1C是平行四边形，

∴A1D1//B1C1，BC//B1C1，且A1D1＝B1C1，BC＝B1C1，

又∵点E，F分别为线段AD，BC的中点，

∴ED1//FC，ED1＝FC，

所以四边形ED1CF是平行四边形，

∴EF//CD1，又∵EF平面CC1D1D，CD平面CC1D1D，

∴EF//平面CC1D1D.

（2）四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，四边形AA1D1D是平行四边形，

∴AD//A1D1，在△DA1D1中，DA1＝DD1，点E为线段A1D1的中点，

∴DE⊥A1D1，又∵AD//A1D1，∴DE⊥AD，

又∵平面A1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD＝AD，DE平面A1ADD1，

∴DE⊥平面ABCD，又AC平面ABCD，∴DE⊥AC，

∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又∵BDDE＝D，BD，DE平面EBD，

∴AC⊥平面EBD.