Question

18．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x）．
（1）求函数f（x）的解析式及定义域；
（2）解不等式f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）由已知令t=x+1，则f（t）=lg（t+1）-lg（1-t），然后还原；
（2）由（1）得到不等式，借助于对数函数的大小，得到分式不等式解之．

解答 解：（1）由已知令t=x+1，则f（t）=lg（t+1）-lg（1-t），
即f（x）=lg（x+1）-lg（1-x）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得到-1＜x＜1，所以函数定义域为（-1，1）；
（2）f（x）=lg（x+1）-lg（1-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$＜1，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}＜10}\\{-1＜x＜1}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜$\frac{9}{11}$．

点评 本题考查了换元法求函数解析式以及解对数不等式；比较基础．