Question

7．己知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，值域为[a₂，b₂]；当x∈[a₂，b₂]时，值域为[a₃，b₃]，…，当x∈[a _n-1，b _n-1]时，值域为[a_n，b_n]，其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若a＞0且a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；
（3）若a＞0，设数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求T_n-S_n的值．

Answer 1

分析 （1）a=1，f（x）=x+b．a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=b_n-1+b，（n≥2），利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）a＞0且a≠1，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，可得b₂=a+b，b₃=a²+ab+b，利用等比数列的性质可得：（a+b）²=1×（a²+ab+b），化为：ab+b²=b．b=0或b=1-a．再利用等比数列的通项公式即可判断出结论．
（3）a＞0时，f（x）=ax+b的单调递增函数．a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=ab_n-1+b，（n≥2），可得：a_n-b_n=a（a_n-1-b_n-1），对a分类讨论，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x+b．a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=b_n-1+b，（n≥2），因此数列{a_n}、{b_n}都是等差数列，公差为b．
∵a₁=0，b₁=1．∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b=bn+1-b．
（2）a＞0且a≠1，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，b₂=a+b，b₃=ab₂+b=a（a+b）+b=a²+ab+b，
∵数列{b_n}是公比不为1的等比数列，∴（a+b）²=1×（a²+ab+b），化为：ab+b²=b．
∴b=0或b=1-a．
当b=0时，b_n=a^n-1，数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为a．
b=1-a（a＞0且a≠1）时，b₁=b₂=1，舍去．
（3）a＞0时，f（x）=ax+b的单调递增函数．
a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=ab_n-1+b，（n≥2），
a_n-b_n=a（a_n-1-b_n-1），
∴数列{a_n-b_n}是等比数列，首项为a₁-b₁=-1，公比为a．
a=1时，T_n-S_n=-n．
a＞0且a≠1时，T_n-S_n=$\frac{-（1-{a}^{n}）}{1-a}$．
∴T_n-S_n=-$\left\{\begin{array}{l}{-n，a=1}\\{\frac{{a}^{n}-1}{1-a}，a＞0，a≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．