Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（1，$\frac{3}{2}$），且左焦点为F₁（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左右顶点分别为A、B，P为椭圆C上一动点，PA，PB分别交直线x=4于点D、E．
（1）求D、E两点纵坐标的乘积；
（2）若点N（$\frac{3}{2}$，0），试判断点N与以DE为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，将M代入椭圆方程，结合椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）（1）设出P的坐标，代入椭圆方程，结合三点共线的条件：斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到乘积；
（2）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由三点共线可得D，E的坐标，由$\overrightarrow{QD}$•$\overrightarrow{QE}$=0，列式得到圆的方程，代入N的坐标，即可判断N在圆内．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=1，将点M（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，
可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，又a²-b²=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）（1）设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
即有n²=3（1-$\frac{{m}^{2}}{4}$）=-$\frac{3（{m}^{2}-4）}{4}$，
A（-2，0），B（2，0），
设D（4，y_D），E（4，y_E），
由A，P，D共线，可得
则k_PA=k_AD，即为$\frac{n}{m+2}$=$\frac{{y}_{D}}{6}$，
同理可得$\frac{n}{m-2}$=$\frac{{y}_{E}}{2}$，
两式相乘，可得$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$=$\frac{{y}_{D}{y}_{E}}{12}$，
则y_Dy_E=12•（-$\frac{3}{4}$）•$\frac{{m}^{2}-4}{{m}^{2}-4}$=-9；
即有D、E两点纵坐标的乘积为-9；
（2）点N在以DE为直径的圆内．
理由：椭圆的右准线为x=4，
设点Q（x，y）是以DE为直径圆上的任意一点，则$\overrightarrow{QD}$•$\overrightarrow{QE}$=0，
设D（4，y₁），E（4，y₂），
可得以DE为直径圆的方程为（x-4）（x-4）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
由A，P，D共线可得$\frac{n}{m+2}$=$\frac{{y}_{1}}{6}$，可设y₁=6k₁，
同理可得y₂=2k₂，
又k₁•k₂=-$\frac{3}{4}$，
即有x²+y²-8x-（6k₁+2k₂）y+7=0．
将N（$\frac{3}{2}$，0）代入上式的左边，可得
$\frac{9}{4}$+0-8×$\frac{3}{2}$-0+7=-$\frac{11}{4}$＜0，
即有点N在以DE为直径的圆内．

点评 本题考查了椭圆的方程和性质，考查三点共线的条件：斜率相等，考查点与圆的位置关系的判断，考查了学生的计算能力，属于中档题．