Question

4．已知集合M={x|y=$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$}，N={x|x（x-a）≤0}
（1）若a=2，求M∩N；
（2）若∁_UN⊆M，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出M中x的范围确定出M，把a=2代入N中不等式，求出解集确定出N，找出M与N的交集即可；
（2）表示出N的补集，根据N补集是M的子集，确定出a的范围即可．

解答 解：（1）由M中y=$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$，得到1-$\frac{1}{x}$≥0，即$\frac{x-1}{x}$≥0，
变形得：x（x-1）≥0，且x≠0，
解得：x＜0或x≥1，即M=（-∞，0）∪[1，+∞），
把a=2代入N中不等式得：x（x-2）≤0，
解得：0≤x≤2，即N=[0，2]，
则M∩N=[1，2]；
（2）当a≥0时，N=[0，a]；当a＜0时，N=[a，0]，
∴∁_UN=（-∞，0）∪（a，+∞）或∁_UN=（-∞，a）∪（0，+∞），
∵M=（-∞，0）∪[1，+∞），且∁_UN⊆M，
∴a≥1或a≤0，
则a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算，以及交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．