Question

6．已知数列{a_n}的首项a₁=m，其前n项和为S_n，且满足S_n+S_n+1=3n²+2n，若对?_n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，则m的取值范围是（-2，$\frac{5}{3}$）．

Answer 1

分析 S_n+S_n+1=3n²+2n，n=1时，2a₁+a₂=5，解得a₂．n≥2时，利用递推关系可得：a_n+1+a_n=6n-1，于是a_n+1-a_n-1=6，因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，对n分类讨论即可得出．

解答 解：∵S_n+S_n+1=3n²+2n，
∴n=1时，2a₁+a₂=5，解得a₂=5-2m．
n≥2时，S_n-1+S_n=3（n-1）²+2（n-1），
∴a_n+1+a_n=6n-1，∴a_n+a_n-1=6n-7，
∴a_n+1-a_n-1=6，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，
a_2k=5-2m+6（k-1）=6k-1-2m，
a_2k-1=m+6（k-1）=6k+m-6．
∵对?_n∈N^*，a_n＜a_n+1恒成立，
∴n=2k-1时，6k+m-6＜6k-1-2m，解得m＜$\frac{5}{3}$．
n=2k时，6k-1-2m＜6（k+1）+m-1，解得：m＞-2．
综上可得m的取值范围是：-2＜m＜$\frac{5}{3}$．
故答案为：（-2，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了等差数列通项公式及其求和公式、递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．