Question

【题目】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）， .

【解析】试题分析：（1）本问主要考查待定系数法求椭圆标准方程，首先设椭圆方程为，然后根据条件列方程组，求解后即得到椭圆标准方程；（2）本问主要考查直线与椭圆的综合问题，分析可知，内切圆面积最大时即为内切圆半径最大， 的面积可以表示为，由椭圆定义可知的周长为定值，这样的面积转化为，然后再根据直线与椭圆的位置关系， 的面积表示为，这样可以联立直线方程与椭圆方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，最后转化为关于的函数，即可求出最值.

试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．

则，

解得： 椭圆方程为，

（Ⅱ）设，不妨，设的内切圆的半径，

则的周长为因此最大，

就最大，

由题知，直线 的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

得 .

则，

令，可知，则 ，

令，则，当时， ， 在上单调递增，有，

即当时， ，这时所求内切圆面积的最大值为．

故直线内切圆面积的最大值为.