Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）当时，若存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）见解析;（II）.

【解析】试题分析：（1）对函数求导，对分情况讨论，从单调性得出是否有极值，且求出极值；（2）当时，由（1）知有极小值 ，只有当时才符合题意，所以，求出函数 在处的切线方程 ，证明 ，得出。

试题解析：（1）由题意得， ，∴，

①当时，则，此时无极值；

②当时，令，则；令，则；

∴在上递减，在上递增；

∴有极小值，无极大值；

（2）当时，由（1）知， 在上递减，在上递增，且有极小值.

①当时， ，∴，

此时，不存在实数， ，使得不等式恒成立；

②当时， ，

在处的切线方程为，

令， ，

则， ，

令 ， ，

则，令，则；令，则；

∴ ，∴，

∴，

当， 时，不等式恒成立，

∴符合题意. 由①，②得实数的取值范围为.