Question

18．已知P是△ABC内的一点，且满足$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，记△ABP、△BCP、△ACP的面积依次为S₁、S₂、S₃，则S₁：S₂：S₃=5：1：3．

Answer 1

分析 记△ABC的面积为S，由已知可得S₁=$\frac{5}{9}$S，S₂=$\frac{1}{9}$S，S₃=$\frac{1}{3}$S，从而求得S₁：S₂：S₃ 的值．

解答 解：记△ABC的面积为S，
∵$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+5$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴-$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{PA}$=$\frac{3}{8}$$\overrightarrow{PB}$+$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$，
则D在BC上，且BD：CD=5：3，
故PD：AD=1：9，
即以BC为底时，△BCP的高是△ABC的$\frac{1}{9}$，
∴S₂=$\frac{1}{9}$S，
同理：S₁=$\frac{5}{9}$S，S₃=$\frac{1}{3}$S，
∴S₁：S₂：S₃=5：1：3，
故答案为：5：1：3

点评 本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想．